Masa Ruch (fizyka)

Ruch środka masy

Rozważmy układ punktów materialnych o masach \( m_1 \), \( m_2 \), \( m_3 \) ..., \( m_{n} \) i o stałej całkowitej masie \( M \). Na podstawie równania Środek masy-( 4 ) możemy napisać

(1)

\( \mathit{M{\bf r}}_{{\text{śr}\text{.}m\text{.}}}={\sum_{i=1}^n}{m_i{\bf r}_i} \)

Różniczkując (względem czasu) powyższe równanie otrzymujemy zgodnie z równaniami Ruch na płaszczyźnie-( 1 ), Ruch na płaszczyźnie-( 2 ) oraz Ruch na płaszczyźnie-( 3 )

(2)

\( M\frac{\mathit{d{\bf r}}_{{\text{śr}\text{.}m\text{.}}}}{\mathit{dt}}=\sum_{i=1}^n{m_{{i}}\frac{\mathit{d{\bf r}}_{{i}}}{\mathit{dt}}} \)

(3)

\( \mathit{M{\bf v}}_{{\text{śr}\text{.}m\text{.}}}=\sum_{i=1}^n{m_{{i}}{\bf v}_{{i}}} \)

a po ponownym różniczkowaniu

(4)

\( M\frac{\mathit{d{\bf v}}_{{\text{śr}\text{.}m\text{.}}}}{\mathit{dt}}=\sum_{i=1}^n{m_{{i}}\frac{\mathit{d{\bf v}}_{{i}}}{\mathit{dt}}} \)

(5)

\( \mathit{M{\bf a}}_{{\text{śr}\text{.}m\text{.}}}=\sum_{i=1}^n{m_{{i}}{\bf a}_{{i}}} \)

To ostatnie równanie możemy zapisać w postaci

(6)

\( \mathit{M{\bf a}}_{{\text{śr}\text{.}m\text{.}}}=\sum_{i=1}^n{{\bf F}_{{i}}} \)

Suma (wektorowa) wszystkich sił działających na poszczególne punkty materialne układu jest równa wypadkowej sile zewnętrznej więc

(7)

\( \mathit{M{\bf a}}_{{\text{śr}\text{.}m\text{.}}}={\bf F}_{{\text{zew}}} \)

Z równania ( 7 ) wynika, że

Prawo 1: Ruch środka masy

Środek masy układu punktów materialnych porusza się w taki sposób, jakby cała masa układu była skupiona w środku masy i jakby wszystkie siły zewnętrzne nań działały.

Z twierdzenia o ruchu środka masy wynika, że nawet ciała materialne będące układami złożonymi z dużej liczby punktów materialnych możemy w pewnych sytuacjach traktować jako pojedynczy punkt materialny. Tym punktem jest środek masy. To twierdzenie obowiązuje dla każdego układu punktów materialnych. W szczególności układ może być ciałem o budowie ciągłej (np. ciało stałe). Wtedy przy obliczeniach środka masy sumowanie występujące w równaniach Środek masy-( 3 ) i Środek masy-( 4 ) zastępujemy całkowaniem. Układ może też być zbiorem cząstek, w którym występują wszystkie rodzaje ruchu wewnętrznego. Pojęcie środka masy jest bardzo użyteczne np. do obliczania energii kineycznej.

Bardziej zaawansowany przykład wykorzystania pojęcia środka masy (do obliczania energii kinetycznej) możesz poznać w Energia kinetyczna w układzie środka masy

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Fizyka

Ruch środka masy

Prawo 1: Ruch środka masy